ANÁLISIS MULTINIVEL PARA MODELAR EL CRECIMIENTO FORESTAL

F. Valera-Rivera1,2* y E. P. Menéndez1

1 Facultad de Matemáticas. Universidad Veracruzana. Xalapa, Veracruz, México

2 Área Académica. Instituto Tecnológico Superior de Perote. Perote, Veracruz, México

Fecha de envío: 11,5,2018

Resumen:


La modelación multinivel se ha aplicado notablemente en diversas disciplinas como educación y medicina; sin embargo, su aplicación para modelar del crecimiento forestal no se ha utilizado ampliamente en México. El presente trabajo compara tres modelos clásicos no lineales de crecimiento (Gompertz, Logístico y Weibull) en árboles Pinus patula distribuidos en cuatro rodales, sin y con una estructura multinivel con base en dos niveles de jerarquía. El valor del coeficiente de correlación intraclase de los tres modelos, varía entre
0.43 y 0.56, indicando que existe variación entre los rodales, permitiendo la aplicación del modelo multinivel en los modelos considerados. Para evaluar el ajuste de los modelos se usan los criterios AIC y BIC. El uso de la modelación multinivel proporciona un mejor ajuste para la altura de los árboles de esta especie comparado con el procedimiento clásico, colocando al modelo Weibull como el modelo que mejor se ajusta a los datos observados.

Palabras claves: Modelos de crecimiento, Análisis multinivel, Pinus patula.

Abstract:


The multilevel model has been widely applied in various disciplines such as education and medicine, however, its application in the modeling of the forest growth has not been widely used in Mexico. The present work compares three nonlinear classical growth models (Gompertz, Logistic and Weibull) in Pinus patula trees distributed in four stands, without and with a multilevel structure in two levels of hierarchy. The value of the intraclass correlation coefficient of the three models varies between 0.43 and 0.56, indicating that there is variation between the stands, allowing the application of the multilevel model in the models considered. To evaluate the fit of the models, the AIC and BIC criteria are used. The application of the multilevel model provides a better fit for the height of the trees of this species compared to the classical procedure, placing the Weibull model as the model that best fits the observed data.

Keywords: Growth models, Multilevel analysis, Pinus patula.


1. Introducción

Se considera al manejo forestal como un proceso de toma de decisiones que permite administrar una masa forestal a través del tiempo. En otras palabras, el manejo forestal es un instrumento de gestión forestal de una planificación basada en la evaluación de las características y el potencial forestal de la masa considerada.
El manejo forestal es un instrumento para alcanzar las metas que se fijan en cuanto al uso de los bosques. En este sentido, es necesario que se tomen decisiones precisas en el tiempo apropiado, por medio de una planeación de las prácticas de manejo. Es indispensable tener información actualizada de los recursos forestales que se van a gestionar, así como de las características de las plantaciones. También es necesario realizar predicciones sobre el futuro desarrollo de los bosques (Riaño et al., 2015). Es decir, proporcionar información fiable sobre el potencial de producción maderable de diferentes especies de árboles (Blanco, 2013; Crecente-Campo, 2008; Hynynen, 2015).
En la actualidad hay una gran diversidad de métodos que se utilizan para predecir el crecimiento de los árboles en masas forestales. Una forma de construir un modelo de crecimiento es a través de métodos estadísticos con el uso de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) para modelos lineales o mínimos cuadrados no lineales (MCNL) para modelos no lineales, como es el caso de los modelos de crecimiento Gompertz, Logístico y Weibull. Sin embargo, los anteriores modelos conllevan estimaciones sesgadas para los parámetros del modelo (Searle et al., 1992). En años recientes, el análisis de efectos mixtos para funciones lineales y no lineales (Restrepo et al., 2012), también conocido como análisis multinivel o modelos de efectos mixtos (Andréu, 2011), se han utilizado en la modelación forestal como un paradigma alternativo cuando los datos están estructurados de forma jerárquica (Calama y Montero, 2004; Riaño et al., 2015, Murillo, 2008), para considerar la variación de las variables en los niveles jerárquicos superiores e inferiores. En México no se han encontrado aplicaciones del modelo multinivel en la actividad forestal.
Los modelos multinivel se han usado frecuentemente en áreas como la medicina o la educación y en menor medida en las investigaciones agropecuarias (Gómez et al., 2012). Estos permiten construir modelos donde la variable respuesta es función de factores en los
cuales están presentes los efectos fijos y los efectos aleatorios (Molinero, 2003; Goldstein,
2011; Pinheiro y Bates, 2000).
Los modelos de crecimiento forestal tienen uno o más parámetros a estimar a partir de los datos disponibles. En la literatura, la estimación de parámetros se ha realizado con modelos de regresión lineal o no lineal (Porté y Bartelink, 2002), como los modelos de: Gompertz, Logístico y Weibull, que consideran el cumplimiento de dos supuestos: la homocedasticidad en la varianza de los errores e independencia entre estos. Sin embargo, al aplicar técnicas de MCO sin que se cumplan los mencionados supuestos produce una estimación sesgada del intervalo de confianza para el estimador del parámetro, considerando como significativas las variables que en la realidad no lo son (Calama y Montero, 2004). También los modelos de crecimiento que relacionan altura-edad tienen la cualidad de aumentar la variabilidad al incrementar la edad (heterocedasticidad). Estas consideraciones implican carencia de precisión y predicción de los modelos ajustados con las consideraciones clásicas.
Para validar la hipótesis de que la modelación multinivel proporciona un mejor ajuste para la altura de los árboles en comparación con el procedimiento clásico, el presente trabajo tiene como objetivo aplicar la modelación multinivel, con datos reales de la especie Pinus patula, destinados al crecimiento forestal (edad-altura), comparando los resultados con los tres modelos que son frecuentemente utilizados en estudios de crecimiento forestal: Gompertz, Logístico y Weibull, (Aguilar, 1991; García, 1988; León-Sánchez et al., 2016; Santiago- García., 2013; Rodríguez-Carrillo et al., 2015). De este modo, también se pretende divulgar el empleo de este paradigma de modelación en el ámbito del crecimiento forestal en México.

2. Materiales y métodos

2.1 Modelo multinivel

El modelo de regresión multinivel considera que existe un conjunto de datos ordenados jerárquicamente, con una sola variable dependiente medida en el nivel más bajo, llamado nivel 1, y variables explicativas en todos los niveles superiores (De la Cruz, 2008). Para este trabajo se considera un modelo multinivel con estructura de dos niveles, donde el nivel 1 considera la variación interna de cada rodal debido a los árboles, mientras que el nivel 2 considera la variación entre los rodales. Para plantear el modelo multinivel, se parte del
modelo clásico de regresión lineal, asumiendo que hay 4 rodales en el nivel 2 (la cantidad de
4 rodales se explica en la sección Aplicación con Pinus patula), con diferente número de
árboles

𝑁𝑗 , en el rodal j, donde i  1, , N j , j=1, 2, 3,4. El modelo de regresión lineal
simple para la variable respuesta

yij

(altura del árbol i en el rodal j) con una variable
explicativa

xij

(edad del árbol i en el rodal j), tiene la forma de la Ec. (1).

yij 0 j 1 j xij ij

Ec. (1)
En la Ec. (1), el coeficiente

0 j , conocido como intercepto, es la altura que el modelo

pronostica para un árbol cuando la edad tiene un valor de cero. El coeficiente

1 j , también

llamado pendiente de la recta de regresión, es el cambio que el modelo pronostica en la altura
del árbol por cada unidad de incremento de la edad. El término eij
representa el error asociado
a cada pronóstico individual, es decir, la diferencia entre la altura real de cada árbol y la pronosticada por el modelo. Se asume que estos errores se distribuyen normalmente con
media cero y varianza común  2 . También se asume que cada rodal del nivel 2 está
caracterizado por un diferente intercepto 0 j
y por una diferente pendiente de regresión 1 j
. Por lo tanto, los parámetros

0 j

y 1 j
ya no se interpretan como constantes fijas, como el
modelo de regresión clásico, sino que consideran que sus valores pueden cambiar de un rodal a otro (Pardo et al, 2007). En otras palabras, tal y como se expresa en la Ec. (2), el intercepto
se forma por una parte fija 0 , que representa la altura media de la población de árboles, más
una parte aleatoria

u0 j , la cual refleja la variabilidad de cada rodal respecto a esa media

poblacional; asimismo, la pendiente de la regresión tiene una parte fija 1 , que es la pendiente media que relaciona el cambio de altura con la edad de los árboles en la población de rodales,
y una parte aleatoria u1 j , que refleja la variabilidad de las pendientes de los distintos rodales con respecto a esa pendiente poblacional media.

0 j 0 u0 j

1 j 1 u1 j

Ec. (2)
Los errores del nivel del grupo,

u0 j

y u1 j , se asumen con media cero, independientes del
error

ij

en el nivel individual y con varianzas 0
y 1 , respectivamente. Ahora,
sustituyendo los valores de

0 j

y 1 j
de la Ec. (2) dentro de la Ec. (1) y reordenando los
términos, para tener los efectos fijos al principio y los aleatorios al final entre paréntesis, se obtiene la formulación del modelo multinivel expresada por la Ec. (3).

yij 0 1xij u0 j u1 j xij ij

Ec. (3)
Para evaluar el ajuste de los modelos se utilizaron el criterio de información Akaike y el criterio de información bayesiana (AIC y BIC, por sus siglas en inglés, respectivamente). En estos dos criterios se distingue un mejor ajuste del modelo cuando se tiene un menor valor, o sea, un modelo con valores pequeños en los criterios implica una probabilidad mucho más alta de que sea más apropiado (Jerez-Rico et al., 2011).
Para identificar el grado de variabilidad existente entre los rodales se empleó el coeficiente de correlación intraclase CCI (Pardo et al., 2007). Para calcular el CCI es necesario construir
el llamado modelo nulo, que es un caso especial del modelo multinivel completo dado por la
Ec. (3). Es el modelo multinivel más simple que no tiene variable independiente,

x , es decir,

es un modelo que tiene únicamente intercepto, además en el nivel 1 adopta la forma de la Ec. (4).

yij 0 j ij

Ec. (4)
En este nivel, la altura de los árboles se interpreta como el resultado de combinar la altura
media de los árboles del rodal al que pertenecen,

0 j , más el error residual en torno a esa

media, ij . Se asume que los errores residuales se distribuyen normalmente con media cero y con igual varianza 2 , en todos los rodales. En el nivel 2, que es el nivel de los grupos o
rodales, la altura media de cada rodal,

0 j , se interpreta como la suma de la media en la

población de rodales, 0 , más la variación aleatoria de cada rodal, u0 j , en torno a esa media, tal y como se expresa en la Ec. (5).

0 j 0 u0 j

Ec. (5)
Se asume que el componente aleatorio de este nivel,

u 2

0 j , tiene media cero y varianza 0 .

Sustituyendo la Ec. (5) en la Ec. (4), se obtiene el modelo nulo, dado por le Ec. (6).
yij 0 u0 j ij
Ec. (6)
El coeficiente de correlación intraclase es un estimador de la proporción de varianza explicada por la estructura de la agrupación, dado por la expresión de la Ec. (7).

2

0

2 2

0 Ec. (7)

En otras palabras, representa el grado de variabilidad existente entre los distintos rodales,
dada por la varianza

2

0 , en comparación con la variación existente entre los árboles del

2
mismo rodal, dado por . Para valores cercanos a cero el CCI indica que la variabilidad
entre rodales no existe y no es necesario construir un modelo multinivel, pero para valores cercanos a la unidad indica que la variación entre rodales sí es fuerte y se sugiere la construcción de un modelo multinivel. El modelo nulo, dado por la Ec. (6), permite estimar
los valores de las varianzas, 0 y  2 , que posteriormente, al sustituir en la Ec. (7), brinda la estimación del valor del CCI.

2.2 Aplicación con Pinus patula

Para el estudio se utilizan los datos correspondientes a la altura y la edad en cada uno de los
400 árboles de la especie Pinus patula seleccionados aleatoriamente de cuatro rodales, que a su vez fueron seleccionados de un grupo de ellos; aunque finalmente sólo se pudo acopiar la información de cuatro de ellos. Es conocido que es poca la cantidad de unidades de segundo nivel, en este caso rodales, no obstante se decidió realizar el estudio, ya que uno de los objetivos del trabajo es la divulgación del empleo de este paradigma de modelación. En la tabla 1 se muestran la ubicación geográfica y el tamaño de cada rodal. Para el uso de un modelo multinivel se consideran dos niveles. En el primer nivel están las observaciones de los árboles individuales en los rodales, mientras que en el segundo nivel se consideran los cuatro rodales. En cada rodal se obtuvo la altura total (h) en metros como variable dependiente y la edad (t) en años como variable independiente de cada árbol seleccionado aleatoriamente.
Con fundamento en la información proporcionada en la literatura existente sobre modelos de crecimiento forestal, se seleccionaron los tres modelos clásicos, que por su forma son considerados que mejor expresan la relación entre la altura y la edad. Dichos modelos se han usado en diversos estudios de carácter forestal (Aguilar, 1991; Návar-Cháidez y Domínguez- Calleros, 2013; Pacheco et al., 2016; Escalante et al., 2012; Rodríguez-Shade, 2010).
Las gráficas y el ajuste de modelos se han elaborado utilizando el lenguaje de programación de análisis estadístico R, versión 3.3.2, con las librerías nls2, para el procedimiento clásico, y lme4, para la modelación multinivel.

Como un primer acercamiento al análisis del crecimiento de los árboles se aplica el modelo de regresión lineal simple a los datos observados sin considerar la estructura jerárquica de los mismos. La Fig. 1 muestra el gráfico de dispersión de los 400 árboles y la recta de regresión del modelo lineal ajustado, notándose que el modelo lineal obtenido no explica de manera adecuada la relación entre la altura y la edad de los árboles, ya que no muestra un comportamiento asintótico de la altura en la medida de que la edad aumenta, lo cual es típico en este tipo de relación entre las variables consideradas.

Figura 1. Gráfico de dispersión y recta de regresión ajustada sin considerar una estructura jerárquica.
Posteriormente, se grafican los tres modelos no lineales clásicos ajustados sin una estructura jerárquica: Gompertz, Logístico y Weibull para identificar el comportamiento de cada uno de ellos. La Fig. 2 muestra las curvas ajustadas de los tres modelos clásicos y el modelo lineal simple. Estas curvas evidencian que tampoco los tres modelos considerados explican adecuadamente la relación entre la altura y la edad de los árboles. En particular, si bien estos tres modelos presentan un comportamiento asintótico de la altura en la medida en que la edad aumenta, dicho comportamiento tiene a subestimar grandes valores de la altura.
A continuación se realiza una comparación del comportamiento del modelo lineal multinivel, bajo una estructura jerárquica, junto con los tres modelos de crecimiento clásicos Gompertz, Logístico y Weibull, previamente linealizados, es decir se considera que cada modelo clásico tiene una estructura jerarquizada comportándose como un modelo multinivel, con una parte de efectos fijos y otra de efectos aleatorios. La tabla 2 muestra cada uno de los tres modelos de crecimiento clásicos en su expresión original y su forma linealizada.

Figura 2. Gráfico de dispersión y curvas ajustadas de los tres modelos no lineales y el modelo lineal simple.

Mientras que la tabla 3 se muestra la relación entre los parámetros de la expresión original
(a, b y c) y la expresión linealizada ( 0
y 1 ), las letras 0
y 1 representan los parámetros
de la parte fija del modelo multinivel. Además se considera que la altura máxima de los datos
observados es

hmax  46.1

metros. Cabe agregar que el error  ij
de todas las observaciones
se asume que cumple con la condición de normalidad, con media 0 y varianza constante 2
.
Tabla 3. Relación entre los parámetros de la expresión original y linealizada de los tres modelos clásicos.

3. Resultados y discusiones

Después de linealizar los tres modelos clásicos se aplica el modelo multinivel a cada uno de ellos para, primero, estimar el modelo nulo de cada modelo linealizado por medio de la Ec.
(6) y se procede a calcular el CCI usando la Ec. (7). Los valores estimados de las varianzas

2

del intercepto 0
y  2 , así como el CCI se muestran en la tabla 4. El modelo Lineal alcanza
un valor de 0.5689, mientras que el modelo Gompertz tiene un CCI de 0.4811, seguido de modelo Logístico con 0.4564 y del modelo Weibull con 0.4337; estos valores indican que la variación entre los rodales es significativa, por este motivo se justifica el empleo del análisis de los datos por medio de una estructura jerárquica, es decir, se justifica el uso del modelo multinivel para cada uno de los modelos clásicos ajustados linealmente.

Segundo, se aplica el modelo multinivel completo, dado por la Ec. (3). En la tabla 5 se muestran las estimaciones de los parámetros para el modelo lineal y la varianza de los errores de nivel 2 de los tres modelos clásicos.
Tabla 5. Parámetros estimados de los modelos empleando el modelo multinivel.

Los valores de la tabla 5 son utilizados para retornar a la expresión original de los modelos clásicos, para ello se emplean las relaciones entre los parámetros de la expresión original y linealizada, que aparece en la tabla 3. De esta forma, se obtienen los parámetros, a, b y c, de los tres modelos en su expresión original. La tabla 6 muestra los valores de cada uno de ellos.

Con estos valores se construyen los tres modelos de crecimiento clásicos y el modelo Lineal, tal y como se muestran en la tabla 7.
Tabla 7. Modelos de crecimiento clásicos y el modelo Lineal después de aplicar el modelo multinivel.

Se realiza una comparación de los modelos usando su expresión original y la expresión empleando el modelo multinivel. En las figs. (3a)-(3d) aparecen las curvas ajustadas que comparan las expresiones originales de los tres modelos clásicos y el lineal con las ajustadas con el modelo multinivel.

Figura 3a. Curvas ajustadas con la expresión original y el modelo multinivel del modelo
Lineal.

Figura 3b. Curvas ajustadas con la expresión original y el modelo multinivel del modelo
Gompertz.

Figura 3c. Curvas ajustadas con la expresión original y el modelo multinivel del modelo
Logístico.

Figura 3d. Curvas ajustadas con la expresión original y el modelo multinivel del modelo
Weibull.
Mientras que la Fig. 4 muestra las curvas de los modelos ajustados usando el análisis multinivel.

Figura 4. Gráfico de dispersión y las curvas ajustadas de los tres modelos no lineales y del modelo lineal usando una modelación multinivel.
Para determinar el mejor ajuste entre los modelos se estiman los valores de los criterios AIC y BIC para los modelos en su expresión original y en su expresión obtenida con multinivel. Los valores de cada criterio aparecen en la tabla 8 para los modelos obtenidos con el multinivel. Ahí se observa que los valores de los criterios AIC y BIC en los modelos usando multinivel son mucho más bajos que cuando se usan las expresiones originales. Esto da validez para señalar que el uso del análisis multinivel mejora, por mucho, el ajuste de las curvas con respecto a las expresiones originales.
Tabla 8. Criterios de selección del mejor modelo.

Ahora, analizando únicamente los valores obtenidos con el análisis multinivel, el valor más bajo de AIC se da en el modelo Weibull, y el más alto en el modelo lineal. El mismo comportamiento se nota con el criterio BIC. Con estos dos criterios se puede establecer, en primera instancia, que el modelo que tiene mejor ajuste es el de Weibull. Este comportamiento se muestra en la Fig. 5, donde la curva ajustada tiene un mejor comportamiento con respecto a los datos observados.

Figura 5. Gráfico de dispersión y el modelo Weibull, que tiene el mejor ajuste al usar el modelo multinivel.

4. Conclusiones

Los valores de los criterios AIC y BIC muestran que con el uso del modelo multinivel se logra un mejor desempeño de los tres modelos de crecimiento clásicos, validando la hipótesis de investigación.
El patrón de crecimiento en la altura, de los árboles Pinus patula de los cuatro rodales estudiados y el modelo lineal, puede describirse a partir de un modelo multinivel con un buen valor en los criterios de ajuste AIC, BIC y correlación de efecto fijo. En la gráfica de la Fig. 5, los datos observados tienen un rápido crecimiento de la altura en los primeros 20 años de edad, para posteriormente entrar en una sección de mayor dispersión; sin embargo, la curva del modelo de Weibull estima con un ajuste significativo el comportamiento de estos datos, siendo el modelo de crecimiento que mejor se ajusta a dichos datos observados. Por lo que, para las necesidades del manejo forestal el modelo multinivel proporciona el mejor ajuste.

Agradecimientos

El primer autor agradece el apoyo del Programa para el Desarrollo Profesional Docente (PRODEP) por la beca ITESPE-005 otorgada para cursar el doctorado en matemáticas dentro del programa de doctorado de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Veracruzana; así como al Instituto Tecnológico Superior de Perote por las facilidades para cursar dicho programa.

REFERENCIAS

Aguilar-Ramírez, M. (1991): Comparación de cuatro modelos matemáticos aplicados al crecimiento forestal. Revista Ciencia Forestal en México, 16 (70), 87-108.
Andréu-Abela, J. (2011): El análisis multinivel: una revisión actualizada en el ámbito sociológico. Metodología de Encuestas, 13, 161-176.
Blanco, J. A. (2013): Aplicaciones de modelos ecológicos a la gestión de recursos naturales.
OmniaScience. Universidad Pública de Navarra, Pamplona, España. Pp 215.
Calama, R. y Montero, G. (2004): Interregional nonlinear height-diameter model with random coefficients for stone pine in Spain. Canadian Journal of Forest Research, 34,
150-163.
Crecente-Campo, F. (2008): Modelo de crecimiento de árbol individual para Pinus radiata D.
Don en Galicia. Tesis Doctoral. Disponible en https://minerva.usc.es/xmlui/bitstream/handle/10347/2415/9788498870374_content. pdf;jsessionid=A0278C601D618A5399C32A1F4C24E5CA?sequence=1
Consultado el 15-1-2014.
De la Cruz, F. (2008): Modelos multinivel. Revista Peruana de Epidemiología, 12 (3), 1-8. Escalante, E., Ordoñez, C., Pando, V. y Bravo, F. (2012): Calibración de un modelo logístico
multinomial de crecimiento en diámetro para pino negral (Pinus pinaster ait.) en el sistema ibérico meridional, España. Actas de la III Reunión sobre Modelización Forestal. Cuadernos de la Sociedad Española de Ciencias Forestales, 34, 95-103.
García, O. (1988): Growth modeling – a (re)view. New Zealand Forestry, 33 (3), 14-17. Goldstein, H. (2011): Multilevel statistical models. 4th Edition. Wiley series in Probability
and Statistics. University of Bristol, UK.
Gómez, S., Torres, V., García, Y. y Navarro, J. A. (2012): Procedimientos estadísticos más utilizados en el análisis de medidas repetidas en el tiempo en el sector agropecuario. Revista Cubana de Ciencia Agrícola, 46 (1), 1-7.
Hynynen, J. (2015): Conceptos básicos para la modelación del crecimiento forestal. Recursos
Naturales y Ambiente, 64, 22-27.
Jerez-Rico, M., Moret-Barillas, A. Y., Carrero-Gámez, O. E., Macchiavelli, R. E. y Quevedo- Rojas, A. M. (2011): Curvas de índice de sitio basadas en modelos mixtos para plantaciones de teca (Tectona grandis L. F.) en los Llanos de Venezuela. Agrociencia,
45, 135-145.
León-Sánchez, M. A., Reyes-Pozo, J. L. Herrero-Echevarria, G. y Pérez-León, V. E. (2016): Efecto de la fertilización sobre el crecimiento en diámetro y altura de Pinus caribeaen plantaciones del occidente de Cuba. Madera y Bosques, 22 (3), 87-101.
Molinero, L. M. (2003): ¿Qué es el método de estimación máxima verosimilitud y cómo se interpreta? Liga española para la lucha contra la hipertensión arterial, p. 1. Disponible: <www.sch_lelha.org/stat.htm>
Murillo-Torrecilla, F. J. (2008): Los modelos multinivel como herramienta para la investigación educativa. Magis. Revista Internacional de Investigación en Educación,
1, 45-62.
Návar-Cháidez J.J. y Domínguez-Calleros P.A. (2013): Modelos de incremento y rendimiento sustentables para bosques de clima templado: ejemplos y aplicaciones para bosques Mexicanos. Revista Mexicana de Ciencias Forestales, 18, 8-26.
Pacheco-Aguilar, G., Santiago-Juárez, W., Martínez-Santiago, D. y Ortiz-Barrios, R. (2016): Análisis del crecimiento e incremento y estimación de índice de sitio para Pinus montezumae Lamb. en Santiago Textitlán, Sola de Vega, Oaxaca. Foresta Veracruzana, Febrero-Septiembre, 21-28.
Pardo, A., Ruiz, M. A. y San Martín, R. (2007): Cómo ajustar e interpretar modelos multinivel con SPSS. Psicothema, 19 (2), 308-321.
Pinheiro, J.C. y Bates, D.M. (2000): Mixed-effects models in S and S-PLUS. Springer. Nueva
York, EEUU. Pp 528.
Porté, A. y Bartelink, H. H. (2002): Modeling mixed forest growth: a review of models for forest management. Ecological Modelling, 150, 141-188.
Restrepo, H. I., Orrego, S. A., Del Valle, J. I. y Salazar, J. C. (2012): Rendimiento, turno óptimo forestal y rentabilidad de plantaciones forestales de Tectona grandis y Pinus patula en Colombia. Interciencia, Enero, 14-29.
Riaño, N., S. Orrego, H. I. Restrepo, Á. Duque, D. Obando, D. Orozco, L. B. Hernández, Y.
P. Giraldo, C. A. León, S. Calderón, G. Romero, D. A. Ordóñez, A. Álvarez, L. Sánchez-Aragón y C. E. Ludeña (2015): Impactos Económicos del Cambio Climático en Colombia: Sector Forestal. Banco Interamericano de Desarrollo, Monografía 256, Washington D.C.
Rodrígues-Carrillo, A., Cruz-Cobos, F., Vargas-Larreta, B. y Hernández, F. J. (2015): Compatible dominant height – site index model for juniper. Revista Chapingo Serie Ciencias Forestales y del Ambiente, XXI (1), 1-12.
Rodríguez-Shade, L., Bravo-Iglesias, J. A., Torres-Cardenal, V., Montalvo-Guerrero, J. M., Álvarez-Góngora, Y. y Mogena-Navarro, O. (2010): Modelación matemática del crecimiento del diámetro y la altura de Pinus maestrensis bisse en la unidad silvícola Guisa. Revista Forestal Baracoa, 29 (2), 33-41.
Santiago-García, W. (2013): Simulador de crecimiento para el manejo de rodales coetáneos de Pinus patula. Tesis Doctoral. Disponible en http://mx.123dok.com/document/myjd6epy-simulador-de-crecimiento-para-el- manejo-de-rodales-coetaneos-de-pinus-patula.html Consultado el 23-3-2015.
Searle, S. R., Casella, G. y McCulloch, C. E. (1992). Variance components. USA: Wiley.